Question

11．如图，AB为圆O的直径，过点B作圆O的切线，任取圆O上异于A，B的一点E，连接AE并延长交BC于点C，过点E作圆O的切线，交边BC于一点D．
（1）求$\frac{BD}{CD}$的值；
（2）连接OD交圆O于一点M，求证：2DE²=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

分析 （1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，证明DC=DE=DB，即可得出结论；
（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE²=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=$\frac{1}{2}$AB和DO=$\frac{1}{2}$AC，化简即可得到等式2DE²=DM•AC+DM•AB成立．

解答 （1）解：连接OE，BE，如图，因为AB为圆O的直径，所以∠AEB=90°，
又ED为圆O的切线，所以∠OED=90°，因为OE=OB，∴∠1=∠2，
又∠1=∠3=90°，∠2+∠EBD=90°，∠3=∠EBD，∴DB=DE，（2分）
同时∠3=∠BAC，∠DEC+∠3=90°，∠A+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DC=DE，
∴DC=DE=DB，∴$\frac{BD}{CD}$=1．（5分）
（2）证明：延长DO交圆O于点H．
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
由圆的切割线定理可得DE²=DM•DH
=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，（7分）
所以DE²=DM•$\frac{1}{2}$AC+DM•$\frac{1}{2}$AB，
所以2DE²=DM•AC+DM•AB．（10分）

点评 本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．