Question

1．设椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{1}{2}$，右焦点到直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1的距离$d=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，O为坐标原点
（1）求椭圆E的方程
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆E分别交于A、B两点，求点O到直线AB的距离．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可知a=2c，b=$\sqrt{3}$c，由点到直线的距离公式d=$\frac{丨bc-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线AB代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由韦达定理求得x₁+x₂及x₁x₂，OA⊥OB，可知x₁x₂+y₁y₂=0，代入即可求得7m²=12（k²+1），由点到直线的距离公式即可求得点O到直线AB的距离．

解答 解：（1）由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，椭圆的焦点在x轴上，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
a²=b²+c²，b=$\sqrt{3}$c，
右焦点（c，0）到$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1的距离：d=$\frac{丨bc-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
代入即可求得c=1，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．  （4分）
（2）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）直线AB的方程为y=kx+m与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
联立消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=0$，
∴$（1+{k^2}）\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{3+4{k^2}}}+{m^2}=0$，
若过A，B两点斜率不存在时，检验满足．
∴整理得：7m²=12（k²+1），
∴d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{12}}{7}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
点O到直线AB的距离d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$． （12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．