Question

6．由y=x²和y=2x围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为$\frac{64}{15}π$．

Answer 1

分析 求出曲线y=x²与直线y=2x交点O、A的坐标，结合旋转体的积分计算公式，可得所求旋转体的体积等于函数y=π（4x²-x⁴）在[0，2]上的积分值，再用定积分计算公式加以计算即可得到该旋转体的体积．

解答 解：∵曲线y=x²与直线y=2x交于点O（0，0）和A（2，4）
∴根据旋转体的积分计算公式，可
该旋转体的体积为V=${∫}_{0}^{2}π（4{x}^{2}-{x}^{4}）dx$=π（$\frac{4}{3}$x³-$\frac{1}{5}$x⁵）${|}_{0}^{2}$=$\frac{64}{15}π$．
故答案为：$\frac{64}{15}π$．

点评 本题给出曲线y=x²与直线y=2x所围成的平面图形，求该图形绕x轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识．