Question

17．已知函数$f（x）={log_{0.5}}[{{x^2}-2（{2a-1}）x+8}]$，a∈R．
（1）若使函数f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=-1+log_0.5（x+3）在[1，3]上仅有一解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据复合函数的单调性和对数函数的定义域以及二次函数的单调性即可求出a的取值范围，
（2）根据对数的运算性质，关于x的方程f（x）=-1+log_0.5（x+3）在[1，3]上仅有一解，转化为x²-4ax+2=0，在[1，3]上仅有一解，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）令t=x²-2（2a-1）x+8＞0，
∵y=log_0.5t在[a，+∞）上为减函数，
则t=x²-2（2a-1）x+8在[a，+∞）上为增函数，
∵其对称轴为x=2a-1，
∴t在[2a-1，+∞）为增函数，
则a≥2a-1，且t（a）＞0，即a²-2（2a-1）a+8＞0，
解得a≤1或-$\frac{4}{3}$＜a＜2，
故a的取值范围为（-$\frac{4}{3}$，1]；
（2）∵f（x）=-1+log_0.5（x+3）=log_0.5（2x+6），
∴x²-2（2a-1）x+8=2x+6，
∴x²-4ax+2=0，
∵关于x的方程f（x）=-1+log_0.5（x+3）在[1，3]上仅有一解，
设g（x）=x²-4ax+2，
则g（1）g（3）≤0，
即（3-4a）（11-12a）≤0，
解得$\frac{3}{4}$≤a≤$\frac{11}{12}$，
故a的取值范围为[$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{12}$]．

点评 本题考查了对数函数的性质以及复合函数的单调性以及方程的解的问题，属于中档题．