Question

5．三棱锥P-ABC是半径为3的球内接正三棱锥，则P-ABC体积的最大值为8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设球心到棱锥底面的距离为x，则棱锥的高为x+3，利用勾股定理求出底面边长，代入体积公式，根据不等式的性质求出体积的最大值．

解答 解：设球心O到三棱锥底面ABC的距离为x，则0≤x＜3，
设底面中心为O′，则O′A=$\sqrt{O{A}^{2}-OO{′}^{2}}$=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，
∴底面边长AB=$\sqrt{3}$O′A=$\sqrt{27-3{x}^{2}}$，棱锥的高PO′=x+3，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PO′$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}（27-3{x}^{2}）（x+3）$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3+x）（6-2x）（x+3）≤$\frac{\sqrt{3}}{8}$（$\frac{3+x+6-2x+x+3}{3}$）³=8$\sqrt{3}$．
当且仅当x+3=6-2x即x=1时取得等号．
故答案为8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了球与内接几何体的关系，空间想象能力，体积计算及不等式的应用，属于中档题．