Question

20．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m，使得对于任意x∈M（M⊆D），有（x-m）∈D且f（x-m）≤f（x），则称f（x）为M上的m度低调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的5度低调函数，那么实数a的取值范围为-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 讨论当a=0和a≠0两种情况，综合得出答案．解题时注意画出草图，结合图形易得．

解答 解：当a=0时，f（x）=x，
则f（x+5）＞f（x），即f（x）为R上的5度低调函数；
当a≠0时，函数y=f（x）的图象如图所示，
，
若f（x）为R上的5度低调函数，
则3a²-（-a²）≤5，
解得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$且a≠0．
综上所述，-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题给出了新定义，结合函数的奇偶性的性质，利用数形结合的综合能力．