Question

18．已知函数f（x）=log₂（x+1），点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，点（t，s）在函数y=g（x）的图象上运动，并且满足$t=\frac{x}{3}，s=y$．
①求出y=g（x）的解析式．
②求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范围．
③在②的范围内求y=g（x）-f（x）的最小值．

Answer 1

分析 ①根据变量关系利用代入法进行求解即可．
②根据对数不等式的解法进行求解即可．
③求出函数的解析式，结合分式函数与对数函数的性质进行求解即可．

解答 解：①∵$t=\frac{x}{3}，s=y$．
∴x=3t，y=s，
∵点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，
∴s=log₂（3t+1），
即y=g（x）=log₂（3x+1）．
②由g（x）≥f（x）得log₂（3x+1）≥log₂（x+1）．
则$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{x+1＞0}\\{3x+1＞x+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-\frac{1}{3}}\\{x＞-1}\\{x＞0}\end{array}\right.$得x＞0，即实数x的取值范围是（0，+∞）．
③当x＞0时，y=g（x）-f（x）=log₂（3x+1）-log₂（x+1）
=log₂$\frac{3x+1}{x+1}$=log₂$\frac{3（x+1）-2}{x+1}$=log₂（3-$\frac{2}{x+1}$）≥log₂（3-$\frac{2}{1}$）=log₂1=0，
即函数y=g（x）-f（x）的最小值是0．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的解析式，结合对数函数的单调性的性质是解决本题的关键．考查学生的运算能力．