Question

已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，可得当直线的斜率不存在时方程为x=3，符合题意．而直线的斜率存在时，利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算，得到切线方程为3x-4y-5=0，即可得到答案．
（2）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值．

解答： 解：（1）∵圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圆心C（1，2），半径r=2，
①当过M点的直线的斜率不存在时，方程为x=3，
由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，此时直线与圆相切．
②当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k（x-3），即kx-y+1-3k=0．
根据题意，可得

|k-2+1-3k|

k2+1

=2，解得k=

3

4

，此时切线方程为y-1=

3

4

（x-3），即3x-4y-5=0
综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0．
（2）由题意，直线ax-y+4=0到圆心的距离等于半径，
可得

|a-2+4|

a2+1

=2，解之得a=0或

4

3

．

点评：本题给出直线与圆相切，求切线的方程与参数a的值．着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．