Question

【题目】已知动圆过定点，并且内切于定圆.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）若上存在两个点，（1）中曲线上有两个点，并且三点共线， 三点共线， ，求四边形的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）8.

【解析】试题分析: （1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；

（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．

试题解析：（1）设动圆的半径为，则， ，所以，

由椭圆的定义知动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆， ，所以，动圆圆心的轨迹方程是.

（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，四边形的面积.

当直线斜率存在时，设其方程为，联立方程得

，消元得

设，则

∵，∴直线的方程为，

，得

设，则

四边形的面积，

令， ，上式，

令，

（），∴，∴，

综上可得，最小值为8.