Question

【题目】已知函数， .

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）是否存在实数，对任意， ， 有恒成立，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由；

（3）记，如果是函数的两个零点，且， 是的导函数，证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析(1)求导得分， ， 三种情况讨论可得的单调区间.

(2) 恒成立，不妨设，即，令，则在上为增函数，只要在恒成立求解即可.

（3）利用，（ ）是函数的两个零点这一条件得，两式推出关于，和a的一个等式，即可利用表示。求出之后，将代入得，构造函数，其中，利用导数求得其最大值为零，又表达式中， ，得证.

试题解析：（1）的定义域为

①若，则， ， 在上单调递增；

②若，则，而，∴，

当时， ；当及时，

所以在上单调递减，在及单调递增；

③若，则，同理可得在上单调递减，在及单调递增.

（2）假设存在，对任意，有恒成立，

不妨设，只要，即，

令，只要在上为增函数，

只要在恒成立，只要，故存在时，对任意，有恒成立.

（3）由题意知，

两式相减，整理得，所以

，又因为，

所以

令，则，

所以在上单调递减，故

又，所以

点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立，及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.