【题目】已知函数.
(1)求函数的图象在
处的切线方程;
(2)是否存在实数,使得对任意的
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,求出最大的整数
的值;若不存在,请说明理由;
(参考数据: )
【答案】(1)所求切线的方程为 (2)存在实数
满足题意,且最大整数
的值为
.
【解析】【试题分析】(1)依据题设先求出切点坐标,再对函数求导,进而求出在切点处的导函数值即为切线的斜率,然后运用点斜式求出切线方程;(2)先依据题设建立不等式,进而将问题转化为即
对
恒成立。然后构造函数
,再求导数
, 令
,则
,
因为在
上单调递增,
,
,
且的图象在
上连续,所以存在
,使得
,即
,最后判定当
时,
单调递减;当
时,
单调递增,
则取到最小值
,
所以,即
在区间
内单调递增. 所以
,即存在实数
满足题意,且最大整数
的值为
。
解:(1)因为,所以
,则所求切线的斜率为
.
又,故所求切线的方程为
.
(2)假设存在实数满足题意,则不等式
对
恒成立.
即对
恒成立
令,则
,
令,则
,
因为在
上单调递增,
,
,/span>
且的图象在
上连续,所以存在
,使得
,即
,
则,
所以当时,
单调递减;当
时,
单调递增,
则取到最小值
,
所以,即
在区间
内单调递增.
所以,
所以存在实数满足题意,且最大整数
的值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到以下数据:
单价x(元/件) | 60 | 62 | 64 | 66 | 68 | 70 |
销量y(件) | 91 | 84 | 81 | 75 | 70 | 67 |
(I)画出散点图,并求关于
的回归方程;
(II)已知该产品的成本是36元/件,预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,为使企业获得最大利润,该产品的单价应定为多少元(精确到元)?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组,参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关,若四关都闯过,则闯关成功,否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是,女生闯过一至四关的概率依次是
.
(Ⅰ)求男生甲闯关失败的概率;
(Ⅱ)设表示四人冲关小组闯关成功的人数,求随机变量
的分布列和期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
(1)如果按照性别比例分层抽样,可得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:
若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有5名男司机,4名女司机,需选派5人运货到吴忠.
(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?
(2)至少有两名男司机,共有多少种不同的选派方法?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动圆过定点
,并且内切于定圆
.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)若上存在两个点
,(1)中曲线上有两个点
,并且
三点共线,
三点共线,
,求四边形
的面积的最小值.
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【题目】已知函数y=f(x)的图象是由y=sin2x向右平移 得到,则下列结论正确的是( )
A.f(0)<f(2)<f(4)
B.f(2)<f(0)<f(4)
C.f(0)<f(4)<f(2)
D.f(4)<f(2)<f(0)
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