【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线与
轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求函数
的最小值;
(Ⅲ)求证:存在,当
时,
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)最小值为
.(Ⅲ)详见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出导数,求得切线的斜率,所以
,得
.;
(Ⅱ),令
,得
,列表求得函数
的最小值
(Ⅲ)显然,且
,分析可知,
存在两个零点,分别为
,
.且
在
上单调递增,
在
上单调递减,
在
上单调递增,
所以是极大值,
是极小值,由题可得
,进而
,
因此时,
. 因为
且
在
上单调递增,
所以一定存在满足
,所以存在
,当
时,
.
试题解析:(Ⅰ) ,
由已知可得,所以
,得
.
(Ⅱ),令
,得
,
所以,
,
的变化情况如表所示:
| 极小值 |
所以的最小值为
.
(Ⅲ)证明:显然,且
,
由(Ⅱ)知, 在
上单调递减,在
上单调递增.
又,
,
由零点存在性定理,存在唯一实数,满足
,
即,
,
综上, 存在两个零点,分别为
,
.
所以时,
,即
,
在
上单调递增;
时,
,即
,
在
上单调递减;
时,
,即
,
在
上单调递增,
所以是极大值,
是极小值,
,
因为,
,
所以,所以
,
因此时,
.
因为且
在
上单调递增,
所以一定存在满足
,
所以存在,当
时,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计,先将800人按001,002,003,…,800进行编号.
(Ⅰ)如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的3个人的编号:(下面摘取了第7行至第9行)
(Ⅱ)抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
成绩优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人,若在该样本中,数学成绩优秀率为30%,求的值.
(Ⅲ)将,
的
表示成有序数对
,求“地理成绩为及格的学生中,数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对
的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)求函数的图象在
处的切线方程;
(2)是否存在实数,使得对任意的
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,求出最大的整数
的值;若不存在,请说明理由;
(参考数据: )
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线
上两点
的极坐标分别为
,圆
的参数方程为
(
为参数).
(1)设为线段
的中点,求直线
的平面直角坐标方程;
(2)判断直线与圆
的位置关系.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验,为此需要为这三个班各购买某种设备1台.经市场调研,该种设备有甲乙两型产品,甲型价格是3000元/台,乙型价格是2000元/台,这两型产品使用寿命都至少是一年,甲型产品使用寿命低于2年的概率是,乙型产品使用寿命低于2年的概率是
.若某班设备在试验期内使用寿命到期,则需要再购买乙型产品更换.
(1)若该校购买甲型2台,乙型1台,求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率;
(2)该校有购买该种设备的两种方案, 方案:购买甲型3台;
方案:购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案,你认为该校应该选择哪种方案?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种产品的以往各年的宣传费用支出(万元)与销售量
(万件)之间有如下对应数据
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
4 | 3 | 6 | 7 | 8 |
(1)试求回归直线方程;
(2)设该产品的单件售价与单件生产成本的差为(元),若
与销售量
(万件)的函数关系是
,试估计宣传费用支出
为多少万元时,销售该产品的利润最大?(注:销售利润=销售额-生产成本-宣传费用)
(参考数据与公式: ,
,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一企业从某条生产线上随机抽取100件产品,测量这些产品的某项技术指标值x,得到如下的频率分布表:
x | [11,13) | [13,15) | [15,17) | [17,19) | [19,21) | [21,23) |
频数 | 2 | 12 | 34 | 38 | 10 | 4 |
(Ⅰ)作出样本的频率分布直方图,并估计该技术指标值x的平均数和众数;
(Ⅱ)若x<13或x≥21,则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取2件,求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率.
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