Question

根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值.

Answer 1

解：如下图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x²=－2p（y－），

∵点A（－，0）在抛物线上，∴（－）²=－2p（0－），得p=.
∴抛物线方程为x²=－a（y－）.
取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得2²=－a（y－），y=.
由题意，令y＞3，得＞3，
∵a＞0，∴a²－12a－16＞0.∴a＞6+2.
又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，….
答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m

略