Question

3．已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2．
（1）解不等式g（x）＜|x-2|+2；
（2）若对任意x₁∈R都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问题转化为|x-1|＜|x-2|，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可

解答 解：（1）由g（x）＜|x-2|+2，得：|x-1|＜|x-2|，
两边平方得：x²-2x+1＜x²-4x+4，
解得：x＜$\frac{3}{2}$，
故不等式的解集是{x|x＜$\frac{3}{2}$}；
（2）因为任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x-1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥-1或a≤-5，
所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5．

点评 本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．