【题目】已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数在区间
上存在零点,求实数
的取值范围;
(3)若函数,其中
为奇函数,
为偶函数,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(1,3)(2) (3)
【解析】试题分析:
(1)利用换元法并通过解二次不等式可得2<2x<8,可得1<x<3,即为所求.(2)分离参数可得在
有解,设
,求出函数
在区间
上的值域即为所求范围.(3)根据题意求得
的解析式,然后通过分离参数
,将恒成立问题转化为具体函数的最值问题,求解即可.
试题解析:
(1)原不等式即为,
设t=2x,则不等式化为t﹣t2>16﹣9t,
即t2﹣10t+16<0,解得2<t<8,
即2<2x<8,
∴1<x<3
∴原不等式的解集为(1,3).
(2)函数在
上有零点,
所以在
上有解,
即在
有解.
设,
∵,
∴,
∴当时,
;当
时,
.
∴.
∵在
有解
∴
故实数m的取值范围为.
(3)由题意得,
解得.
由题意得,即
对任意
恒成立,
令,则
.
则得对任意的
恒成立,
∴对任意的
恒成立,
因为在
上单调递减,
∴.
所以.
∴实数的取值范围
.
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【题目】已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,且短轴长为6.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在斜率为1的直线l,使得l与曲线C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】在极坐标系中,已知曲线:
和曲线
:
,以极点
为坐标原点,极轴为
轴非负半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线和曲线
的直角坐标方程;
(2)若点是曲线
上一动点,过点
作线段
的垂线交曲线
于点
,求线段
长度的最小值.
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【题目】已知圆的方程为
,点
,点M为圆
上的任意一点,线段
的垂直平分线与线段
相交于点N.
(1)求点N的轨迹C的方程.
(2)已知点,过点A且斜率为k的直线
交轨迹C于
两点,以
为邻边作平行四边形
,是否存在常数k,使得点B在轨迹C上,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
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【题目】给出下列四个说法:
①命题“,都有
”的否定是“
,使得
”;
②已知、
,命题“若
,则
”的逆否命题是真命题;
③是
的必要不充分条件;
④若为函数
的零点,则
.
其中正确的个数为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某家电公司销售部门共有200位销售员,每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务,已知这200位销售员去年完成销售额都在区间(单位:百万元)内,现将其分成5组,第1组,第2组,第3组,第4组,第5组对应的区间分别为
,
,
,
,
,绘制出频率分布直方图.
(1)求的值,并计算完成年度任务的人数;
(2)用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本,求这5组分别应抽取的人数;
(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2位,奖励海南三亚三日游,求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率.
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