[题目]已知圆的方程为.点.点M为圆上的任意一点.线段的垂直平分线与线段相交于点N.(1)求点N的轨迹C的方程.(2)已知点.过点A且斜率为k的直线交轨迹C于两点.以为邻边作平行四边形.是否存在常数k.使得点B在轨迹C上.若存在.求k的值,若不存在.说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知圆的方程为，点，点M为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点N.

（1）求点N的轨迹C的方程.

（2）已知点，过点A且斜率为k的直线交轨迹C于两点，以为邻边作平行四边形，是否存在常数k，使得点B在轨迹C上，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由椭圆的定义，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，进而求得N的轨迹方程；（2）设直线,与椭圆联立，得韦达定理，以、为邻边作平行四边形的顶点在椭圆上，转化为坐标化后B点在椭圆上，得k的方程求解即可

（1）

知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，则a=,

∴

（2）设直线,与椭圆联立

设，

消去，得

点

代入椭圆方程：

得

又满足

存在常数，使得平行四边形的顶点在椭圆上

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