Question

2．若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函数y=cosx-sin²x的值域为[-$\frac{5}{4}$，1]．

Answer 1

分析 先可将原函数变成y=$（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{5}{4}$，而由x的范围，根据余弦函数的图象可求出$cosx∈[-\frac{1}{2}，1]$，通过上面函数解析式即可求出原函数的最大值，最小值，从而求出其值域．

解答 解：y=cos²x+cosx-1=$（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{5}{4}$；
$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴$cosx∈[-\frac{1}{2}，1]$；
∴$cosx=-\frac{1}{2}$时，原函数取最小值$-\frac{5}{4}$；
cosx=1时，原函数取最大值1；
∴原函数的值域为$[-\frac{5}{4}，1]$．
故答案为：[$-\frac{5}{4}$，1]．

点评 考查sin²x+cos²x=1，配方法求函数的最值，从而求出函数的值域，以及对余弦函数图象的掌握，根据余弦函数的图象求余弦函数的范围．