Question

13．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为非零向量，$|{\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，两组向量$\overrightarrow{x_1}，\overrightarrow{x_2}，\overrightarrow{x_3}，\overrightarrow{x_4}$和$\overrightarrow{y_1}，\overrightarrow{y_2}，\overrightarrow{y_3}，\overrightarrow{y_4}$均由2个$\overrightarrow a$和2个$\overrightarrow b$排列而成．若$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}.\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}.\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}.\overrightarrow{y_4}$的所有可能取值中的最小值为$4{|{\overrightarrow a}|^2}$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 两组向量$\overrightarrow{x_1}，\overrightarrow{x_2}，\overrightarrow{x_3}，\overrightarrow{x_4}$和$\overrightarrow{y_1}，\overrightarrow{y_2}，\overrightarrow{y_3}，\overrightarrow{y_4}$均由2个$\overrightarrow a$和2个$\overrightarrow b$排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论

解答 解：由题意，设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为非零向量的夹角为α，
分类讨论可得
①$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}.\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}.\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}.\overrightarrow{y_4}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}$=$10|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，不满足
②$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}.\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}.\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}.\overrightarrow{y_4}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}$=5|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow{a}$|²cosα，不满足；
③$\overrightarrow{x_1}.\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}.\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}.\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}.\overrightarrow{y_4}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=8|$\overrightarrow{a}$|²cosα=4|$\overrightarrow{a}$|²，满足题意，此时cosα=$\frac{1}{2}$
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题