Question

3．若f（x）=lnx-ax²+x是定义域上增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求f（x）=lnx-ax²+x的定义域，再求导并化简f′（x）=$\frac{1-2a{x}^{2}+x}{x}$，从而化单调性为f′（x）=$\frac{1-2a{x}^{2}+x}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，从而讨论a是否是0以确定不等式的次数并确定即可．

解答 解：f（x）=lnx-ax²+x的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax+1=$\frac{1-2a{x}^{2}+x}{x}$，
∵f（x）=lnx-ax²+x是定义域上增函数，
∴f′（x）=$\frac{1-2a{x}^{2}+x}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2ax²-x-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{-0-1≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{0-0-1≤0}\end{array}\right.$；
解得，a≤0；
故a的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．