Question

5．已知函数f（x）=x²+kx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y+b=0，数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据已知切线方程，可求k，代入可求f（n），利用裂项求和即可求．

解答 解：∵函数f（x）=x²+kx，
∴f′（x）=2x+k，
∴y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+k，
∵切线方程为3x-y+b=0，∴2+k=3，
∴k=1，f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₅=$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+…+$\frac{1}{f（2015）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，及裂项求和方法的应用，属于中档题．