Question

17．设两个向量$\overrightarrow a=（λ+2，{λ^2}-{cos^2}α）$和$\overrightarrow b=（{m，\frac{m}{2}+sinα}）$，其中λ，m，α为实数，若$\overrightarrow a=2\overrightarrow b$，则λ的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{3}{2}，2}]$
• B． $[{-2，\frac{3}{2}}]$
• C． $[{-2，-\frac{3}{2}}]$
• D． $[{\frac{3}{2}，2}]$

Answer 1

分析 运用共线得出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ+2}{m}=2}\\{\frac{{λ}^{2}-co{s}^{2}α}{\frac{m}{2}+sinα}=2}\end{array}\right.$，化简得出：m=1$+\frac{λ}{2}$，把m=1$+\frac{λ}{2}$，λ²$-\frac{λ}{2}$=3-（sinα-1）²，
运用三角函数有界性得出：$\left\{\begin{array}{l}{1≤{λ}^{2}-\frac{λ}{2}}\\{3≥{λ}^{2}-\frac{λ}{2}}\end{array}\right.$．求出即可．

解答 解：∵两个向量$\overrightarrow a=（λ+2，{λ^2}-{cos^2}α）$和$\overrightarrow b=（{m，\frac{m}{2}+sinα}）$，其中λ，m，α为实数，若$\overrightarrow a=2\overrightarrow b$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ+2}{m}=2}\\{\frac{{λ}^{2}-co{s}^{2}α}{\frac{m}{2}+sinα}=2}\end{array}\right.$化简得出：m=1$+\frac{λ}{2}$，把m=1$+\frac{λ}{2}$，代入第二个式子得出：λ²$-\frac{λ}{2}$=3-（sinα-1）²，
根据三角函数的有界性得出：-1≤3-（sinα-1）²≤3，
所以得出：$\left\{\begin{array}{l}{-1≤{λ}^{2}-\frac{λ}{2}}\\{{λ}^{2}-\frac{λ}{2}≤3}\end{array}\right.$，
求解得出：$-\frac{3}{2}$≤λ≤2．
故选：A

点评 本题考查了向量的共线问题，运用坐标得出方程组，转化为函数有界性得出不等式组，属于中档题．