Question

9．现定义a_n=5ⁿ+（$\frac{1}{5}$）ⁿ，其中n∈{$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$，1}，则a_n取最小值时，n的值为（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 对数列函数f（n）=5ⁿ+（$\frac{1}{5}$）ⁿ求导数，由导函数的符号判断数列a_n=5ⁿ+（$\frac{1}{5}$）ⁿ为递增数列，由此可得a_n取最小值时n的值．

解答 解：∵a_n=5ⁿ+（$\frac{1}{5}$）ⁿ，
令f（n）=5ⁿ+（$\frac{1}{5}$）ⁿ，
∴${f}^{′}（n）=n•{5}^{n-1}+n•（\frac{1}{5}）^{n-1}＞0$（n＞0），
∴数列a_n=5ⁿ+（$\frac{1}{5}$）ⁿ为递增数列，
则当n∈{$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$，1}，且a_n取最小值时，n的值为$\frac{1}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，属中档题．