Question

18．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的外接球的体积$\frac{256π}{3}$．

Answer 1

分析 根据已知中的三视图，求出截面圆半径和球心距，进而求出球半径，可得这个棱柱的外接球的体积．

解答 解：由已知中的三视图，可得：
底面三角形的高为3$\sqrt{3}$，故截面圆半径为r=2$\sqrt{3}$，
棱柱的高为4，故球心距d=2，
故这个棱柱的外接球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$=4，
故这个棱柱的外接球的体积V=$\frac{4}{3}{πR}^{3}$=$\frac{256π}{3}$．
故答案为：$\frac{256π}{3}$

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积，球内接多面体，其中分析出球的半径是解答的关键．