Question

5．如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为120°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积．

Answer 1

分析 根据题意，设SP中点为C，PQ中点为D，∠COP=θ，表示出四边形SPRS的面积，
再利用三角恒等变换求出它的最大值即可．

解答 解：设SP中点为C，PQ中点为D，如图所示；
设∠COP=θ，则CP=1×sinθ=sinθ，
CO=cosθ，
DQ=CP=sinθ，
又∠DOQ=$\frac{π}{3}$，
∴OD=$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，
∴CD=OC-OD=cosθ-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，
∴S_{四边形PQRS}=CD×SP
=（cosθ-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$）•2sinθ
=sin2θ-$\frac{{2sin}^{2}θ}{\sqrt{3}}$
=sinθ-$\frac{1-cos2θ}{\sqrt{3}}$
=sin2θ+$\frac{1}{\sqrt{3}}$cos2θ-$\frac{1}{\sqrt{3}}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当θ=$\frac{π}{6}$时，四边形SPQR取得最大值为
S_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此时点P在弧AB的四等分点处．

点评 本题考查了三角恒等变换以及三角函数的应用问题，是综合性题目．