Question

18．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱$A{A_1}=\sqrt{3}$，AB=2，D，E分别为棱AC，B₁C₁的中点，M，N分别为线段AC₁和BE的中点．
（1）求证：直线MN∥平面ABC；
（2）求二面角C-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取棱CC₁的中点F，连MF，NF，推出MF∥AC，NF∥BC，然后证明MF∥平面ADC，NF∥平面ADC，证明平面MNF∥平面ADC，推出MN∥平面ADC．
（Ⅱ）取线段BC的中点O，连AO，连OE，以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OA}$为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz．设AB=2，求出相关点的坐标，求出平面ADB的一个法向量，平面BDE的法向量，通过向量的数量积求解二面角B₁-AD-B的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）取棱CC₁的中点F，连MF，NF，则MF∥AC，NF∥BC，
∵MF?平面ADC，AC?平面ADC，
∴MF∥平面ADC，同理NF∥平面ADC
又∵MF∩NF=F，且MF?平面MNF，NF?平面MNF，
∴平面MNF∥平面ADC
又MN?平面MNF，
∴MN∥平面ADC
（Ⅱ）取线段BC的中点O，连AO，则AO⊥BC，连OE，则OE∥BB₁，
又因为BB₁⊥平面ABC，所以OE⊥平面ABC
以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OA}$为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz．

设AB=2，则$A{A_1}=AO=\sqrt{3}$，各点坐标如下：$O（0，0，0），A（0，0，\sqrt{3}），B（1，0，0）$，C（-1，0，0），$D（-\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），{B_1}（1，\sqrt{3}，0）$，$E（0，\sqrt{3}，0）$，
∵平面BCD即平面Oxz∴取平面ADB的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，1，0）$
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow n=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，则   $\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{D{B_1}}=0$
又   $\overrightarrow{DB}=（\frac{3}{2}，0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}），\overrightarrow{BE}=（-1，\sqrt{3}，0）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}{x_0}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{z_0}=0\\-{x_0}+\sqrt{3}{y_0}=0\end{array}\right.$令${x_0}=\sqrt{3}$得平面ADB₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，3）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{1}{{1•\sqrt{3+1+9}}}=\frac{{\sqrt{13}}}{13}$
故二面角B₁-AD-B的余弦值为$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．