Question

3．已知正项等比数列{a_n}，$2{a_1}+{a_2}=15，{a_4}^2=9{a_1}{a_5}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n；数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和记为S_n，是否存在正整数n，使得${S_n}＞\frac{39}{20}$，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列的性质、通项公式化简条件，求出q、a₁的值，再由等比数列通项公式求出a_n；
（2）根据对数的运算性质求得b_n，再求出$\frac{1}{{b}_{n}}$，利用裂项相消法求出数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为S_n，代入不等式化简后求出n的最小值．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由${a}_{4}^{2}$=9a₁a₅，可知：${a}_{4}^{2}$=9${a}_{3}^{2}$，即q²=9，
∵a_n＞0，
∴q=3，由2a₁+a₂=15，即2a₁+3a₁=5，
∴a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，
（2）由（1）可知：a_n=3ⁿ，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$，
=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
由$\frac{2n}{n+1}$＞$\frac{39}{20}$，解得：n＞39，
∴n的最小值为40．

点评 本题考查等比数列的通项公式及性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查数列与不等式相结合，考查计算能力，属于中档题．