Question

8．已知f（x）=x²-2|x|（x∈R）．
（1）若方程f（x）=kx有三个解，试求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域与值域均为[m，n]？若存在，求出所有的区间[m，n]，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用数形结合，分别在同一个坐标系中画出f（x）和y=kx的图象，观察满足条件的k 的范围；
（2）分别讨论x的情况，得到对应的方程的根，借助于图象直观的找出满足条件的m，n．

解答 解：（1）若方程f（x）=kx有三个解，当x=0时，方程x²-2|x|=kx成立，即x=0是方程的一个根；
当x≠0时，等价于方程x²-2|x|=kx有两个不相等的实根，即k=x-$\frac{2|x|}{x}$，设g（x）=$x-\frac{2|x|}{x}$，则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x＞0}\\{x+2，x＜0}\end{array}\right.$，作出g（x）的图象，如
当-2＜k＜2时满足k=x-$\frac{2|x|}{x}$，有两个不等的实根，
综上实数k的取值范围是-2＜k＜2；
（2）由题意，函数的值域为[-1，+∞），要使函数f（x）的定义域与值域均为[m，n]，则m≥-1，且f（x）至少有两个根，
当x≥0时，f（x）=x即x²-2x=x，解得x=0或者x=3；
当x＜0时，f（x）=x即x²+2x=x，解得x=0或者x=-1，
f（x）的图象如图，由图象可知区间[0，3]不成立；
所以存在m=1，n=0时，即定义域为[-1，0]，此时函数的值域为[-1，0]，满足条件；
m=-1，n=3时，即定义域为[-1，3]时，值域为[-1，3]，满足条件．

点评 本题考查了函数的性质与方程的根的问题；借助于数形结合的方法使得直观易懂；属于中档题．