Question

20．已知$0＜β＜α＜\frac{π}{2}$，且$cosα=\frac{5}{13}$，$cos（α-β）=\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求$cos（α+\frac{π}{4}）$的值；                  
（Ⅱ）求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式即可求得sinα的值，然后由两角和与差的余弦函数解答；
（Ⅱ）结合（α-β）的取值范围和sin²α+cos²α=1解答．

解答 解：（Ⅰ）∵$0＜β＜α＜\frac{π}{2}$，
∴sinα＞0，
∴$cosα=\frac{5}{13}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，
∴$cos（α+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{5}{13}$-$\frac{12}{13}$）=-$\frac{7\sqrt{2}}{26}$，即$cos（α+\frac{π}{4}）=-\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$；           
（Ⅱ）∵$0＜β＜α＜\frac{π}{2}$，
∴0＜α-β＜$\frac{π}{2}$．
∴sin（α-β）＞0，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=$\frac{3}{5}$，即$sin（α-β）=\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角与差的正余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．