Question

10．已知函数f（x）=lnx+$\frac{b}{x+1}（{b＞0}）$，对任意x₁，x₂∈[1，2]，x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜-1，则实数b的取值范围是$（{\frac{27}{2}，+∞}）$．

Answer 1

分析 利用导数的几何意义即可得出．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{b}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-bx}{x（x+1）^{2}}$，
∵对任意x₁，x₂∈[1，2]，x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（1）=\frac{4-b}{4}＜-1}\\{{f}^{′}（2）=\frac{9-2b}{18}＜-1}\end{array}\right.$，解得b＞$\frac{27}{2}$，
故答案为：$（{\frac{27}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查了导数的几何意义、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．