Question

20．如图所示，PQ为⊙O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM=QN．
（Ⅰ）求证：PF•QN=PQ•NF；
（Ⅱ）若QP=QF=$\sqrt{3}$，求PF的长．

Answer 1

分析 （I）已知条件PQ为圆O的切线，联系切线的性质、弦切角定理，利用三角形相似，可得结论；
（II）求出∠PQF=120°，利用余弦定理求PF的长．

解答 （I）证明：因为PQ为圆O的切线，所以∠PFQ=∠PQE．…（1分）
又因为QM=QN，所以∠QNM=∠QMN，…（2分）
所以∠PNF=∠PMQ，…（3分）
所以△PNF∽△PMQ，…（4分）
所以$\frac{PF}{PQ}=\frac{NF}{MQ}=\frac{NF}{NQ}$，即PF•QN=PQ•NF；…（5分）
（II）解：因为QP=QF=$\sqrt{3}$，所以∠PFQ=∠QPF．…（6分）
又∠PFQ+∠QPF+∠PQE+∠EQF=180°，∠EQF=90°，…（7分）
所以∠PFQ=∠QPF=30°，∠PQF=120°，…（8分）
由余弦定理，得PF=$\sqrt{3+3-2•\sqrt{3}•\sqrt{3}•（-\frac{1}{2}）}$=3．…（10分）

点评 本题考查圆周角定理、弦切角定理、余弦定理、圆的性质，以及考查逻辑四维能力、推理理论能力、转化能力、运算求解能力．