Question

11．已知数列{a_n}的前项和为S_n，S_n=1+ta_n（t≠1且t≠0，n∈N*）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列
（2）若$\lim_{n→∞}$S_n=1，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用条件，再写一式，两式相减，即可证明数列{a_n}是等比数列
（2）若$\lim_{n→∞}$S_n=1，$\lim_{n→∞}$[1-$（\frac{t}{t-1}）^{n}$]=1，可得0＜|$\frac{t}{t-1}$|＜1，即可求实数t的取值范围．

解答 （1）证明：∵S_n=1+ta_n，
∴n≥2时，S_n-1=1+ta_n-1，
两式相减可得a_n=ta_n-ta_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{t}{t-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列；
（2）解：由题意，S₁=1+ta₁，∴a₁=$\frac{1}{1-t}$，∴a_n=$\frac{1}{1-t}•（\frac{t}{t-1}）^{n-1}$，
若$\lim_{n→∞}$S_n=1，则$\lim_{n→∞}$[1-$（\frac{t}{t-1}）^{n}$]=1，
∴0＜|$\frac{t}{t-1}$|＜1，
∴$t＜\frac{1}{2}$，
∵t≠1且t≠0，
∴$t＜\frac{1}{2}$，且t≠0．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的极限，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．