Question

16．已知函数h（x）=lnx的反函数为φ（x），函数f（x）=φ（x）+ax²-x．
（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（2）设函数f（x）在点P（t，f（t））（0＜t＜1）处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q，若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其单调区间和极值；
（2）利用导数的运算法则可得f′（x）=e^x+2ax-1，利用导数的几何意义可得：函数f（x）在点P（t，f（t））（0＜t＜1）处的切线l的斜率，即可得到切线l的方程为y-（e^t+at²-t）=（e^t+2at-1）（x-t）．令x=0，得y=（1-t）e^t-at²（0＜t＜1）．当0＜t＜1时，要使得点Q的纵坐标恒小于1，只需（1-t）e^t-at²＜1，即（t-1）e^t+at²+1＞0（0＜t＜1）．令g（t）=（t-1）e^t+at²+1，利用导数通过分类讨论即可得到其单调性．

解答 解：（1）函数h（x）=lnx的反函数为φ（x）=e^x，
当a=0时，f（x）=e^x-x，
导数f′（x）=e^x-1，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=0处取得极小值0，无极大值；
（2）∵f′（x）=e^x+2ax-1，
∴函数f（x）在点P（t，f（t））（0＜t＜1）处的切线l的斜率k=f′（t）=e^t+2at-1，
∴切线l的方程为y-（e^t+at²-t）=（e^t+2at-1）（x-t），
令x=0，得y=（1-t）e^t-at²（0＜t＜1）．
当0＜t＜1时，要使得点Q的纵坐标恒小于1，
只需（1-t）e^t-at²＜1，即（t-1）e^t+at²+1＞0（0＜t＜1）．
令g（t）=（t-1）e^t+at²+1，
则g′（t）=t（e^t+2a），
∵0＜t＜1，∴1＜e^t＜e，
①若2a≥-1即a≥-$\frac{1}{2}$时，e^t+2a＞0，
∴当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，即g（t）在（0，1）上单调递增，
∴g（t）＞g（0）=0恒成立，∴a≥-$\frac{1}{2}$满足题意．
②若2a≤-e，即a≤-$\frac{e}{2}$时，e^t+2a＜0．
∴当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，即g（t）在（0，1）上单调递减．
∴g（t）＜g（0），∴a≤-$\frac{e}{2}$时不满足条件．
③若-e＜2a＜-1，即-$\frac{e}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2}$时，0＜ln（-2a）＜1．列表如下：

t	（0，ln（-2a））	ln（-2a）	（ln（-2a），1）
g′（t）	-	0	+
g（t）	单调递减	极小值	单调递增

∴g（ln（-2a））＜g（0）=0，∴-$\frac{e}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2}$不满足题意．
综上①②③可得：当a≥-$\frac{1}{2}$时，g（t）＞0，0＜t＜1．此时点Q的纵坐标恒小于1．

点评 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．