Question

7．求不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x-6＜5a-ax}\\{\sqrt{x-2}＞1}\end{array}\right.$（a∈R）的解集，并求当解集为（14，+∞）时a的值．

Answer 1

分析 不等式组即即 $\left\{\begin{array}{l}{（3+a）x＜5a+6}\\{x-2＞1}\end{array}\right.$，分类讨论a的范围，求得不等式组的解集．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x-6＜5a-ax}\\{\sqrt{x-2}＞1}\end{array}\right.$（a∈R），即 $\left\{\begin{array}{l}{（3+a）x＜5a+6}\\{x-2＞1}\end{array}\right.$．
当a=-3时，不等式组即 $\left\{\begin{array}{l}{0＜-9}\\{x-2＞1}\end{array}\right.$，无解；
当a＞-3，不等式组即$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{5a+6}{a+3}}\\{x＞3}\end{array}\right.$，∵3-$\frac{5a+6}{a+3}$=$\frac{3-2a}{a+3}$，
故若-3＜a＜$\frac{3}{2}$ 时，∵3＞$\frac{5a+6}{a+3}$，求得x∈∅；若a≥$\frac{3}{2}$，3≤$\frac{5a+6}{a+3}$，求得3＜x＜$\frac{5a+6}{a+3}$．
当a＜-3 时，不等式组即$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{5a+6}{3+a}}\\{x＞3}\end{array}\right.$，∵3-$\frac{5a+6}{a+3}$=$\frac{3-2a}{a+3}$＜0，∴3＜$\frac{5a+6}{a+3}$，求得x＞$\frac{5a+6}{3+a}$．
综上可得，不等式的解集为当a≥$\frac{3}{2}$ 时，解集为{x|3＜x＜$\frac{5a+6}{a+3}$ }；当a＜-3 时，解集为{x|x＞$\frac{5a+6}{3+a}$}；当-3≤a＜$\frac{3}{2}$时，解集为∅．
当解集为（14，+∞）时，a＜0，且$\frac{5a+6}{3+a}$=14，求得a=-4．

点评 本题主要考查含有参数的不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．