Question

17．设函数f（x）=|2x-2|+|x+3|
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若关于x的不等式f（x）≥|2a-1|恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）问题等价于f（x）_min≥|2a-1|，由（1）求得f（x）_min=4，可得4≥|2a-1|，由此求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|2x-2|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x≤-3}\\{-x+5，-3＜x＜1}\\{3x+1，x≥1}\end{array}\right.$，
∴原不等式f（x）＞6可转化为：$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-3x-1＞6}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜1}\\{-x+5＞6}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{3x+1＞6}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x≤-3，解求得-3＜x＜-1，解②求得x＞$\frac{5}{3}$，
故原不等式的解集为{x|x＜-1，或x＞$\frac{5}{3}$}．
（2）关于x的不等式f（x）≥|2a-1|恒成立，等价于f（x）_min≥|2a-1|，
由（1）得f（x）_min=4，∴4≥|2a-1|，求得-$\frac{3}{2}$≤a≤$\frac{5}{2}$，
故所求a的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．