Question

设函数f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1
（1）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（2）当f（a）=

9

5

，且

π

6

＜α＜

2π

3

时，求sin（2α+

2π

3

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间．
（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．

解答： 解：（1）依题意f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1=sin（x+

π

3

）+1，
∵-1≤sin（x+

π

3

）≤1，则∵0≤sin（x+

π

3

）+1≤2，
函数f（x）的值域是[0，2]，
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]，k∈Z．
（2）由f（a）=sin（α+

π

3

）+1=

9

5

，得sin（α+

π

3

）=

4

5

，
∵

π

6

＜α＜

2π

3

，∴

π

2

＜α+

π

3

＜π时，得cos（α+

π

3

）=-

3

5

，
∴sin（2α+

2π

3

）=sin2（α+

π

3

）=2sin（α+

π

3

）cos（α+

π

3

）=-2×

4

5

×

3

5

=-

24

25

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数求值，考查学生的运算能力，利用三角函数的诱导公式进行化简即可得到结论．