Question

正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

an

3n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出Sn＞0，Sn=n2+n，由此能推导出数列{a_n}的通项a_n=2n．
（2）由bn=

2n

3n

，利用错位相减法能求出Tn=

3

2

-

2n+3

2

(

1

3

)n．

解答： （1）解：由

S

2 n

-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0，
得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0．
∵{a_n}是正项数列，
∴Sn＞0，Sn=n2+n．
∴a₁=S₁=2，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n．
综上，数列{a_n}的通项a_n=2n．
（2）∵b_n=

an

3n

，∴bn=

2n

3n

，
∴Tn=

2

3

+

4

32

+

6

33

+…+

2n

3n

，①

1

3

Tn=

2

32

+

4

33

+

6

34

+…+

2n

3n+1

，②
①-②，得：

2

3

Tn=2（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）-

2n

3n+1

=2×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

2n

3n+1

=1-

1

3n

-

2n

3n+1

，
∴Tn=

3

2

-

2n+3

2

(

1

3

)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．