Question

设函数f（x）=2ax-

a

x

+lnx
（1）当a=-

1

3

时，若在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．
（2）若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，再分别讨论x的取值范围，从而求出c的最小值，
（2）分别讨论a＞0，a＜0，a=0的情况，从而得出a的范围．

解答： 解：（1）在[

1

4

，2]?x₀，使不等式f（x₀ ）-c≤0成立，
只需c≥[f（x）]_min，
由f′（x）=-

(2x-1)(x-1)

3x2

，
∴x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

4

，

1

2

]上递减；
当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[

1

2

，1]上递增；
当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，2]上递减；
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，2]上的极小值．
而f（

1

2

）=

1

3

-ln2，f（2）=-

7

6

+ln2，
∴f（

1

2

）-f（2）=

ln

3 2 e

-ln4，
又e³-16＞0，∴

ln

3 2 e

-ln4＞0，
∴[f（x）]_min=f（2），
∴c≥[f（x）]_min=-

7

6

+ln2，
∴c的范围是[-

7

6

+ln2，+∞），
∴c的最小值为-

7

6

+ln2；
（2）①a=0时，f（x）=lnx，
则f（x）在（0，+∞）递增；
②当a＞0时，
∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，
∴f′x）＞0，则f（x）在（0，+∞）递增，
③a＜0时，设g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，
从而得a≤-

2

4

，此时f（x）在（0，+∞，）递减；
综上得，a的范围是（-∞，-

2

4

]∪[0，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，考察分类讨论思想，是一道综合题．