Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=0，其前n项和S_n满足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1-3（n≥3）
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出an-an-1=2n-1-3(n≥3)，由此利用累加法能求出an=2n-3n+2(n∈N*)．
（2）用分组求和的方法可得Sn=2n+1-2-

n(3n-1)

2

．

解答： 解：（1）∵Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1-3(n≥3)，
∴(Sn-Sn-1)-(Sn-1-Sn-2)=2n-1-3，
∴an-an-1=2n-1-3(n≥3)，
a3-a2=22-3，
a4-a3=23-3，
…，
an-an-1=2n-1-3
这n-2个式子相加，得：
an-a2=22+23+…+2n-1-3(n-2)，又a₂=0
所以an=2n-3n+2(n≥3)．
经验证a₁和a₂也满足该式，
故an=2n-3n+2(n∈N*)．
（2）∵an=2n-3n+2(n∈N*)，
∴S_n=2×

1-2n

1-2

-3×

n(n+1)

2

+2n
∴用分组求和的方法得Sn=2n+1-2-

n(3n-1)

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．