Question

已知函数f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[m，m+l]上的最大值；
（Ⅱ）当1≤a≤e+1时，求证：f（x）≤x．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x-e^x，得f′（x）=1-e^x，从而f（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减，讨论m≥0时，m≤-1时，-1＜m＜0时的情况，综合得出函数的最大值，
（Ⅱ）令g（a）=x-f（x）=-ax+x+e^x，只需证明g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立，得g（1）=-x+x+e^x=e^x＞0①，和g（1+e）≥0②，由①②得，g（a）≥0在a∈[1，e+1]时恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x-e^x，
∴f′（x）=1-e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，
令f′（x）＜0，解得：x＞0，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减，
m≥0时，f（x）在[m，m+1]递减，f（x）m_ax=f（m）=m-e^m，
m≤-1时，f（x）在[m，m+1]递增，f（x）max=f（m+1）=m+1-e^m+1，
-1＜m＜0时，f（x）在[m，0]递增，在[0，m+1]递减，f（x）_max=f（0）=-1，
综上f（x）max=

m+1-em+1，  m≤-1 -1，                    -1＜m＜0 m-em，            m≥0

，
（Ⅱ）令g（a）=x-f（x）=-ax+x+e^x，
只需证明g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立，
g（1）=-x+x+e^x=e^x＞0①，
g（1+e）=-x（1+e）+x+e^x=e^x-ex，
设h（x）=e^x-ex，则h′（x）=e^x-e，
x＜1时，h′（x）＜0，x＞1时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴h（x）≥h（1）=e-e=0，即g（1+e）≥0②，
由①②得，g（a）≥0在a∈[1，e+1]时恒成立，
故当1≤a≤e+1时，f（x）≤x．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考察分类讨论思想，是一道综合题．