Question

已知二次函数y=f（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=f（x）在x=-1处取得最小值为0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）-kx在区间（0，2）有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的形式及函数的最小值，设出f（x），求出g（x）的导函数，根据导函数是函数的斜率，列出方程，求出a，m的值．
（2）y=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，在区间（0，2）有两个不同的零点，即x²+（2-k）x+1=0在区间
（0，2）有两个不同根，根据根的存在条件列出不等式解得即可．

解答： 解：（1）依题可设f（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
则f′（x）=2ax+2a；
又f′（x）的图象与直线y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-1处取得最小值为0．
∴m-1=0
∴m=1
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）∵y=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，在区间（0，2）有两个不同的零点，
即x²+（2-k）x+1=0在在区间（0，2）有两个不同根，
∴

f(0)＞0  f(2)＞0 0＜ k-2 2 ＜2

即

1＞0 2k+1＞0 0＜ k-2 2 ＜2

解得.2＜k＜6，
故实数k的取值范围为（2，6）

点评：本题主要考查二次函数的顶点式、导数的几何意义、函数零点与方程根的关系．主要考查基础知识的综合运用和学生的计算能力．