Question

已知在△ABC中，

a3+b3-c3

a+b-c

=c²，sinA•sinB=

3

4

，则△ABC一定是

 

．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：解三角形

分析：先把已知等式整理可求得a，b和c的关系，利用余弦定理求得C，通过两角和公式求得cosAcosB的值，最后利用两角和与差的余弦函数求得cos（A-B）=1，判断出A=B，最终判断出三角形的形状．

解答： 解：∵

a3+b3-c3

a+b-c

=c²，
∴a³+b³-c³=ac²+bc²-c³，
（a+b）（a²+b²-ab）=（a+b）c²，
∴a²+b²-ab=c²，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴C=

π

3

，
∵sinAsinB=

3

4

，cos（A+B）=cos（180°-C）=cos120°=-

1

2

，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
∴cosAcosB=

1

4

∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0．
∴A=B=60°
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．解题的关键是找到角与角之间的关系．