Question

10．已知O为坐标原点，过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=8，如果OA⊥OB，那么y₁y₂=-4．

Answer 1

分析 抛物线 y²=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，故|AB|=x₁+x₂+2，由此易得弦长值．
设AB的方程为x=my+1，代入抛物线方程，利用根与系数的关系可得y₁y₂的值．

解答 解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=-1，
∵抛物线 y²=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，
∴|AB|=x₁+x₂+2，
又x₁+x₂=6，
∴|AB|=x₁+x₂+2=8，
由题意可得F（1，0），设AB的方程为x=my+1，
代入抛物线方程y²=4x可得y²-4my-4=0，∴由根与系数的关系可得y₁y₂=-4，
故答案为：8，-4．

点评 本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．