Question

15．（1）求过两圆x²+y²+6x-4=0和x²+y²+6y-28=0的交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．
（2）已知圆C：x²+y²=4与点P（3，4），过P点做圆C的两条切线．切点分别为A、B，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）解方程组求得两圆交点的坐标，根据圆心在直线x-y-4=0上，可设圆心C（a，a-4），由CA=CB求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的方程．
（2）直线AB可看作已知圆与以AP为半径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}+6x-4=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}+6y-28=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
故两个圆的交点分别为A（-1，3）、B（-6，-2）．
根据圆心在直线x-y-4=0上，可设圆心C（a，a-4），
由CA=CB，可得 $\sqrt{{（a+1）}^{2}{+（a-4-3）}^{2}}$=$\sqrt{{（a+6）}^{2}{+（a-4+2）}^{2}}$，
求得a=$\frac{1}{2}$，故圆心为C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{2}$），半径为CA=$\sqrt{{（\frac{3}{2}）}^{2}{+（-\frac{13}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{178}}{2}$，
故要求的圆的方程为${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+${（y+\frac{7}{2}）}^{2}$=$\frac{89}{2}$．
（2）直线AB可看作已知圆与以AP为半径P为圆心的圆的交线，x²+y²=4的圆心（0，0），半径为2．
|AP|=$\sqrt{{PO}^{2}{-2}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
以AP为半径P为圆心的圆的方程为：（x-3）²+（y-4）²=21，即x²+y²-6x-8y+4=0
将两圆的方程相减得，6x+8y=8，即3x+4y-4=0．
∴直线AB的方程是3x+4y-4=0．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线与圆的方程，及位置关系的判断，考查基本的运算能力，属于中档题．