Question

4．已知$f（x）=\frac{lnx}{1+x}-lnx，f（x）$在x=x₀处取最大值，以下结论：
①f（x₀）＜x₀ ②f（x₀）=x₀ ③f（x₀）＞x₀ ④$f（{x_0}）＜\frac{1}{2}$   ⑤$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$
其中正确的序号为②④．

Answer 1

分析 求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值最值的关系确定f（x₀）的值，进行判断即可．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），f（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）lnx，
函数的导数f′（x）=（-$\frac{x}{x+1}$）′lnx-$\frac{x}{x+1}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{-lnx-x-1}{{（x+1）}^{2}}$，
设h（x）=-lnx-x-1，
则h′（x）=-$\frac{1}{x}$-1=$\frac{-1-x}{x}$，则当x＞0时，h′（x）＜0，
即h（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵h（$\frac{1}{2}$）=ln2-$\frac{3}{2}$＜lne-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$＜0，当x→0时，h（x）＞0，
∴在（0，$\frac{1}{2}$）内函数h（x）有唯一的零点x₀，即h（x₀）=-lnx₀-x₀-1=0，
即lnx₀=-1-x₀，
当0＜x＜x₀，f′（x）＞0，
当x＞x₀，f′（x）＜0，即函数f（x）在x=x₀处取得最大值，
即f（x₀）=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•lnx₀=（-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$）•（-1-x₀）=x₀，
故答案为：②④．

点评 本题主要考查命题的真假判断涉及函数的单调性，极值，最值与导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．