Question

16．已知直线l：y=kx+b与抛物线x²=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A、B，线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C．分别过A、B作抛物线的切线交于点E，则关于点C、D、E三点横坐标x_c、x_D，x_E的表述正确的是（　　）

• A． x_D＜x_C＜x_E
• B． x_C=x_D＞x_E
• C． x_D=x_c＜x_E
• D． x_C=x_D=x_E

Answer 1

分析 设A$（{x}_{1}，\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}）$，B$（{x}_{2}，\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}）$．直线方程与抛物线方程联立，化为：x²-2pkx-2pb=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得x_D．对抛物线x²=2py两边求导可得：y′=$\frac{x}{p}$．可得切线方程，进而得到交点E的横坐标，由题意可得：k=$\frac{{x}_{C}}{p}$，即可得出结论．

解答 解：设A$（{x}_{1}，\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}）$，B$（{x}_{2}，\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，化为：x²-2pkx-2pb=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=2pk，
可得x_D=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=pk．
对抛物线x²=2py两边求导可得：y′=$\frac{x}{p}$．
可得经过点A的切线方程：y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁），
经过点B的切线方程：y-$\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂），
联立解得x_E=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x_D．
经过点C的切线的斜率为$\frac{{x}_{C}}{p}$，
由题意可得：k=$\frac{{x}_{C}}{p}$，∴x_C=pk．
综上可得：x_C=x_E=x_D．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交相切问题、导数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．