Question

6．若arcsinx-arccosx=$\frac{π}{6}$，则x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得arcsinx与arccosx=$\frac{π}{6}$均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx-arccosx） 的值，可得x的值．

解答 解：∵arcsinx∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），arccosx∈（0，π），arcsinx-arccosx=$\frac{π}{6}$，
∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0．
又 cos（arcsinx-arccosx）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即 cos（arcsinx）•cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）
=$\sqrt{{1-x}^{2}}$•x+x•$\sqrt{{1-x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\sqrt{{1-x}^{2}}$•x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴x²（1-x²）=$\frac{3}{16}$，∴x²=$\frac{3}{4}$，或 x²=$\frac{1}{4}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或x=$\frac{1}{2}$．
经检验，x=$\frac{1}{2}$ 不满足条件，故舍去．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查反正弦函数、反余弦函数的定义，两角差的余弦公公式的应用，属于基础题．