Question

18．过原点的直线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为$\frac{5}{4}$，则双曲线的离心率为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设出P，M，N的坐标，根据直线斜率之间的关系建立方程关系进行求解即可．

解答 解：由双曲线的对称性知，可设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），则N（-x₁，-y₁）．
由${k_{PM}}{k_{PN}}=\frac{5}{4}$，可得：$\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}•\frac{{{y_0}+{y_1}}}{{{x_0}+{x_1}}}=\frac{5}{4}$，
即$y_0^2-y_1^2=\frac{5}{4}（x_0^2-x_1^2）$，即$\frac{5}{4}x_0^2-y_0^2=\frac{5}{4}x_1^2-y_1^2$，
又因为P（x₀，y₀），M（x₁，y₁）均在双曲线上，
所以$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$，$\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$，所以$\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4}$，
所以双曲线的离心率为$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线斜率关系建立方程是解决本题的关键．