Question

8．过x轴上一定点M作直线l与抛物线y²=4x交于P，Q两点，若$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=5$，则M点的坐标为（5，0）或（-1，0）．

Answer 1

分析 设M（t，0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线l的方程为：my+t=x，与抛物线方程联立化为：y²-4my-4t=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可得出．

解答 解：设M（t，0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线l的方程为：my+t=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-4my-4t=0，
△=16m²+16t＞0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=5$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+t）（my₂+t）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mt（y₁+y₂）+t²=-4t（m²+1）+4m²t+t²，
∴t²-4t-5=0，
解得t=5或-1．满足△＞0．
∴M（5，0）或（-1，0）．
故答案为：（5，0）或（-1，0）．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．