Question

1．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测度，直至找到所有4件次品为止．
（1）若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
（2）若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？

Answer 1

分析 （1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，第2次测到第一件次品有4种方法；第8次测到最后一件次品有3种方法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有${A}_{5}^{2}$种方法；剩余4次抽到的是正品，分类计数原理共有${A}_{4}^{2}$${A}_{5}^{2}$${A}_{6}^{4}$种抽法．
（2）检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有${A}_{4}^{4}$种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4${A}_{4}^{3}$${A}_{6}^{1}$种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4${A}_{5}^{3}$${A}_{6}^{2}$+${A}_{6}^{6}$种，由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为${A}_{4}^{4}$+4${A}_{4}^{3}$${A}_{6}^{1}$+4${A}_{5}^{3}$${A}_{6}^{2}$+${A}_{6}^{6}$．

解答 解：（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，
第2次测到第一件次品有4种方法；第8次测到最后一件次品有3种方法；
第3至第7次抽取测到最后两件次品共有${A}_{5}^{2}$种方法；剩余4次抽到的是正品，共有${A}_{4}^{2}$${A}_{5}^{2}$${A}_{6}^{4}$=86400种抽法．
（2）检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有${A}_{4}^{4}$种，
检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4${A}_{4}^{3}$${A}_{6}^{1}$种；
检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4${A}_{5}^{3}$${A}_{6}^{2}$+${A}_{6}^{6}$种．
由分类计数原理，
知满足条件的不同测试方法的种数为${A}_{4}^{4}$+4${A}_{4}^{3}$${A}_{6}^{1}$+4${A}_{5}^{3}$${A}_{6}^{2}$+${A}_{6}^{6}$=8520．

点评 本题考查分步计数问题，考查排列组合的实际应用，考查用排列组合数表示方法数，是中档题．