Question

（2011•淄博二模）关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；
②直线x=

π

4

是y=f（x）的一条对称轴；
③点（

π

8

，0）是y=f（x）的图象的一个对称中心；
④将y=f（x）的图象向左平移

π

8

个单位，可得到y=

2

sin2x的图象．
其中真命题的序号是

①③④

．（把你认为真命题的序号都写上）

Answer 1

分析：根据和差角公式化简函数f（x）的解析式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个命题的真假，可得答案．

解答：解：∵f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
∵ω=2，故T=

2π

2

=π，故①为真命题；
当x=

π

4

时，2x-

π

4

=

π

4

终边不在y轴上，故直线x=

π

4

不是y=f（x）的一条对称轴，故②为假命题；
当x=

π

8

时，2x-

π

4

=0，终边落在x轴上，故点（

π

8

，0）是y=f（x）的图象的一个对称中心，故③为真命题；
将y=f（x）的图象向左平移

π

8

个单位，可得到y=

2

sin[2（x+

π

8

）-

π

4

]=

2

sin2x的图象，故④为真命题；
故答案为：①③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答的关键．